有限差分

概述

本包用于数值计算导数、梯度、雅可比矩阵、海森矩阵等。 该库旨在为最终用户提供可用的接口，同时最大化速度， 并针对数组类型和稀疏性进行特化。 包含以下内容：

• 完全无分配的 mutable 形式，以支持快速数组操作
• 完全非 mutating 形式，以支持静态数组
• 用于高效计算稀疏雅可比矩阵的着色向量
• 在有限差分允许的范围内，兼容 GPU。

如果你想要最快的版本，请创建一个缓存，并在不同的 x 值（或不同的 f 函数）上 重复调用差分函数； 如果你想要一个快速且粗略的数值答案，请直接调用差分函数。

对于使用自动微分的类似稀疏微分，请参阅 SparseDiffTools.jl。

FiniteDiff.jl 与 FiniteDifferences.jl

FiniteDiff.jl 和 FiniteDifferences.jl 是类似的库：两者都通过数值方法计算近似导数。 你绝对应该使用其中之一，而不是使用遗留的 Calculus.jl 有限差分，或自行重新实现。 在未来某个时间点，它们可能会合并，或者其中一个可能依赖于另一个。 目前，它们的区别如下：

• FiniteDifferences.jl 基本上支持任何类型，而 FiniteDiff.jl 仅支持数组类类型
• FiniteDifferences.jl 支持高阶近似
• FiniteDiff.jl 经过精心优化以最小化内存分配
• FiniteDiff.jl 支持着色向量以高效计算稀疏雅可比矩阵

总体结构

该库的总体结构如下。你可以直接调用差分 函数，这将分配一个临时缓存来解决问题。 为了使重复调用不产生内存分配，你可以调用缓存 构建函数。每个缓存构建函数有两种可能性： 一种是你提供原型数组，它生成缓存 变量；另一种是完全无分配的版本，你提供缓存 变量。总结如下：

• 只想快速求导？只计算一次？调用差分函数。
• 打算多次计算导数但没有现成的缓存数组 可用？使用分配式缓存，然后将其传入差分 函数（这将仅在缓存构建时分配一次）。
• 从你自己的算法中拥有缓存变量并希望 在差分函数中重用它们？使用无分配式缓存构建 并将缓存传入差分函数。

有关 API 的详细信息，请参阅文档。

函数定义

在所有函数中，inplace 形式为 f!(dx,x)，而 out of place 形式为 dx = f(x)。

Coloring vectors

允许向 Jacobian 例程提供 Coloring vectors，这些是用于构建 Jacobian 的方向导数。例如，通过使用 colorvec=repeat(1:3,N÷3)，仅需 4 次 f 调用即可计算出一个精确的 NxN 三对角 Jacobian。有关自动生成稀疏矩阵的 coloring vectors 的信息，请参阅 SparseMatrixColorings.jl 和 现已弃用的 SparseDiffTools.jl。

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