# 群 (Group)

群是一个有序对 $(G, \times)$，其中 $G$ 是一个集合，$\times$ 是一个二元运算，满足以下条件：

1. 封闭性 (Closure)：对于任意 $a, b \in G$，有 $a \times b \in G$
2. 结合律 (Associativity)：对于任意 $a, b, c \in G$，有 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
3. 单位元 (Identity Element)：存在一个元素 $e \in G$，对于任意 $a \in G$，有 $a \times e = e \times a = a$
4. 逆元 (Inverse Element)：对于任意 $a \in G$，存在一个元素 $a^{-1} \in G$，使得 $a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e$

如果 $\times$ 还满足交换律 (Commutativity)，即对于任意 $a, b \in G$，有 $a \times b = b \times a$，则称 $(G, \times)$ 是一个交换群，称作阿贝尔群。

群的元素个数称为群的阶 (Order)。如果群的阶是有限的，则称该群是有限群，否则称该群是无限群。群的阶记作 $|G|$。

## 置换群 (Permutation Group)

## 循环群 (Cyclic Group)

## 子群 (Subgroup)

一个群的子集 $H$，如果满足以下条件，则称 $H$ 是群 $G$ 的子群：

1. 封闭性：对于任意 $a, b \in H$，有 $a \times b \in H$
2. 单位元：$e \in H$
3. 逆元：对于任意 $a \in H$，有 $a^{-1} \in H$

#### 正规子群 (Normal Subgroup)

一个群 $G$ 的子群 $H$，如果满足对于任意 $g \in G$ 和 $h \in H$，有 $ghg^{-1} \in H$，则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群。

#### 陪集 (Coset)

给定一个群 $G$ 和它的正规子群 $H$，定义左陪集 $aH = \{ah | h \in H\}$ 和右陪集 $Ha = \{ha | h \in H\}$，其中 $a \in G$。

#### 商群 (Quotient Group)

给定一个群 $G$ 和它的正规子群 $H$，定义一个二元运算 $\times$，使得对于任意 $a, b \in G$，有 $a \times b = abH$，则 $(G/H, \times)$ 是一个群，称为群 $G$ 关于正规子群 $H$ 的商群。

#### 可解群 (Solvable Group)

一个群 $G$ 是可解的 (Solvable)，如果存在一个正规子群链 $G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_n = \{e\}$，使得对于任意 $i$，有 $G_{i+1}$ 是 $G_i$ 的正规子群，并且 $G_{i+1}/G_i$ 是阿贝尔群。

## 半群

## 群的同态

## 群的同构

# 环

环 (Ring) 是一个有序对 $(R, +, \times)$，其中 $R$ 是一个集合，$+$ 和 $\times$ 是两个二元运算，满足以下条件：

1. $(R, +)$ 是一个交换群
2. $(R, \times)$ 是一个半群
3. 分配律 (Distributive Law)：对于任意 $a, b, c \in R$，有 $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ 和 $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

如果$(R, \times)$ 是一个交换群，则称 $(R, +, \times)$ 是一个交换环。

# 域

域 (Field) 是一个有序对 $(F, +, \times)$，其中 $F$ 是一个集合，$+$ 和 $\times$ 是两个二元运算，满足以下条件：

1. $(F, +)$ 是一个交换群
2. $(F \setminus \{0\}, \times)$ 是一个交换群
3. 分配律 (Distributive Law)：对于任意 $a, b, c \in F$，有 $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ 和 $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$
   > 0 是加法单位元，1 是乘法单位元, $F \setminus \{0\}$ 表示 $F$ 中除去 0 元素后的集合

## 系数域 (Field of Coefficients)

一个多项式 $f(x)$ 的系数域是包含 $f(x)$ 的所有系数的最小域。

## 分裂域 (Splitting Field)

一个多项式 $f(x)$ 的分裂域是包含 $f(x)$ 的所有根的最小域。、、、、、

## 域扩张 (Field Extension)

一个域 $K$ 的子域 $F$，称 $K$ 是 $F$ 的域扩张，记作 $K/F$。

## 伽罗瓦群 (Galois Group)

伽罗瓦群是指在域扩张 $K/F$ 中，所有保持域 $F$ 中元素不变的自同构构成的群。
