**定义：** 若有扩域 $F = K(\alpha)$，且 $\alpha$ 是系数全在 $K$ 中的 $n$ 次方程的根，则称 $F$ 是 $K$ 的一个 $n$ 次扩域。记作 $[F:K] = n$。

> 其中 $n$ 次方程是指即约最小的 $n$ 次方程。

例：$Q(\sqrt{2})$ 是 $Q$ 的一个 $2$ 次扩域，因为 $\sqrt{2}$ 是 $Q$ 中 $x^2 - 2 = 0$ 的根。

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**定理1：** 若有扩域 $F = K(\alpha)$，且 $[F:K] = n$，则对于任意 $F$ 的元素 $\beta$，存在 $K$ 的基底 $\{1, \alpha, \alpha^2, \cdots, \alpha^{n-1}\}$，使得 $\beta$ 可以表示为 $K$ 的线性组合。并且这种表示是唯一的。

证明待补充。

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**定理2：** 若有 $\alpha_1, \alpha_2 \in F$，则 $K(\alpha_1, \alpha_2) = K(\alpha_1)(\alpha_2)$ = $K(\alpha_2)(\alpha_1)$。

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设有一元 $n$ 次方程 $f(x) = 0$。该方程可根式求解的必要条件是存在域列 $F_0 \subset F_1 \subset \cdots \subset F_n$，使得 $f(x)$ 在 $F_n$ 中有 $n$ 个不同的根。其中 $F_n = F_{n-1}(\alpha_n)$，$\alpha_n^m \in F_{n-1}$，且 $m$ 是质数。
